Question

已知函数，

（1）讨论的单调性；

（2）求证：当时，对于任意，都有.

Answer

（1）见解析（2）证明见解析

【解析】

（1）求得的定义域和导函数，对分成三种情况，讨论的单调性.

（2）将不等式转化为，对分成三种情况，通过构造函数法，结合导数，证得不等式成立.

（1）的定义域为，.

当时，，在上递减.

当时，时，，递减，时，，递增.

当时，时，，递减，时，，递增.

综上所述，当时，在上递减.

当时，在上递增，在上递减.

当时，在上递增，在上递减.

（2）要证，即证，当时，不等式显然成立.

当时，即证；当时，即证.

令，则，当时，在上，递减，在上，递增，所以，所以.

当时，在上，递增，在上，递减，所以，所以.

综上所述，当时，对于任意，都有.