Question

已知椭圆的两个焦点，，离心率为，的周长等于，点、在椭圆上，且在边上.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）如图，过圆上任意一点作椭圆的两条切线和与圆交与点、，求面积的最大值.

Answer

（1）；（2）最大值为.

【解析】

（1）由题意可知，即，根据离心率，可知，再利用，求解即可.

（2）先根据韦达定理证明两切线垂直，得出线段为圆直径，，再根据均值不等式，求解即可.

（1）的周长等于，点、在椭圆上，且在边上.

，即

又离心率

，则

椭圆的标准方程为：

（2）设，则

当两条切线中有一条切线的斜率不存在时，即，，

则另一条切线的斜率为，从而.

当切线斜率都存在，即时，设过点的椭圆的切线方程为

则，即

则

即

设切线和的斜率分别是，.

则，为方程的两根

即

从而，则线段为圆直径，

当且仅当时，等号成立，取得最大值为.

综上所述，取得最大值为.