Question

定义在R上的偶函数f（x）满足f（e+x）＝f（e﹣x），且f（0）＝0，当x∈（0，e]时，f（x）＝lnx已知方程在区间[﹣e，3e]上所有的实数根之和为3ea，将函数的图象向右平移a个单位长度，得到函数h（x）的图象，，则h（7）＝_____.

Answer

【解析】

根据题意可知函数f（x）是一个周期为2e的偶函数，即可作出函数f（x）在[﹣e，3e]上的图象，由方程的根与两函数图象交点的横坐标的关系可求得的值，再利用二倍角公式化简函数，然后根据平移法则即可求得，从而求得．

因为f（e+x）＝f（e﹣x），所以f（x）关于x＝e对称，又因为偶函数f（x），

所以f（x）的周期为2e.

当x∈（0，e]时，f（x）＝lnx，于是可作出函数f（x）在[﹣e，3e]上的图象如图所示，

方程的实数根是函数y＝f（x）与函数的交点的横坐标，

由图象的对称性可知，两个函数在[﹣e，3e]上有4个交点，且4个交点的横坐标之和为4e，所以4e＝3ea，故a，

因为，

所以，

故.

故答案为：.