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如图,在四棱锥P-ABCD中,,平面PAB,,点E满足. (1)证明:; (2)...

如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAB,点E满足.

1)证明:

2)求二面角A-PD-E的余弦值.

 

(1)证明见解析 (2) 【解析】 (1)由勾股定理计算出,然后求数量积得,由线面垂直可得,从而可证得平面ABCD得证线线垂直; (2)建立如图所示的直角坐标系,用空间向量法求二面角的余弦值. (1)证明:在中, 由勾股定理,得 . 因为, 所以 . 所以,所以. 因为平面PAB,平面PAB, 所以. 又因为, 所以平面ABCD. 又因为平面ABCD, 所以. (2)由得. 所以点E是靠近点A的线段AB的三等分点. 所以. 分别以所在方向为y轴,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系. 则. 设平面PDE的法向量为, 由,得. 令,则; 设平面APD的法向量为, 由,得, 令,则. 设向量与的夹角为, 则. 所以二面角的余弦值为.
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