Question

已知P是圆F₁：（x+1）²+y²＝16上任意一点，F₂（1，0），线段PF₂的垂直平分线与半径PF₁交于点Q，当点P在圆F₁上运动时，记点Q的轨迹为曲线C.

（1）求曲线C的方程；

（2）记曲线C与x轴交于A，B两点，M是直线x＝1上任意一点，直线MA，MB与曲线C的另一个交点分别为D，E，求证：直线DE过定点H（4，0）.

Answer

（1）（2）证明见解析

【解析】

（1）根据椭圆的定义即可求出点Q的轨迹方程；

（2）设出点M的坐标，表示出直线MA的方程，与椭圆方程联立可求得点的坐标，同理可求得点的坐标，再利用三点共线的条件即可证出．

（1）由已知|QF1|+|QF2|＝|QF1|+|QP|＝|PF1|＝4，

所以点Q的轨迹为以为F1，F2焦点，长轴长为4的椭圆，

故2a＝4，a＝2，c＝1，b2＝a2﹣c2＝3

所以曲线C的方程为

（2）由（1）可得A（﹣2，0），B（2，0），设点M的坐标为（1，m）

直线MA的方程为：

将与联立消去y整理得：（4m2+27）x2+16m2x+16m2﹣108＝0，

设点D的坐标为（xD，yD），则，

故，则

直线MB的方程为：y＝﹣m（x﹣2）

将y＝﹣m（x﹣2）与联立消去y整理得：（4m2+3）x2﹣16m2x+16m2﹣12＝0

设点E的坐标为（xE，yE），则，

故，则

HD的斜率为

HE的斜率为

因为k1＝k2，所以直线DE经过定点H.