Question

已知函数.

（1）求在点处的切线方程；

（2）若不等式恒成立，求k的取值范围；

（3）求证：当时，不等式成立.

Answer

（1）（2）（3）证明见解析

【解析】

（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义即可得到切线方程；

（2）由，即，构造函数，求导函数研究单调性，进而得的最大值，即得的取值范围；

（3）由（2）可知：当时，恒成立，令，整理得：，将两边不等式全相加即可得到结论.

（1）函数的定义域为，

，，

∵，∴函数在点处的切线方程为，

即.

（2）由，，则，即，

设，，

，，单调递增，

，，单调递减，

∵不等式恒成立，且，

∴，∴即可，故.

（3）由（2）可知：当时，恒成立，

令，由于，.

故，，整理得：，

变形得：，即：时，，……，

两边同时相加得：，

所以不等式在上恒成立.