Question

已知函数f（x）＝－bx＋lnx（a，b∈R）．

（Ⅰ）若a＝b＝1，求f（x）点（1，f（1））处的切线方程；

（Ⅱ）设a＜0，求f（x）的单调区间；

（Ⅲ）设a＜0，且对任意的x＞0，f（x）≤f（2），试比较ln（－a）与－2b的大小．

Answer

（Ⅰ）;（Ⅱ）单调递增区间是，单调递减区间是;（Ⅲ）.

【解析】

试题（Ⅰ）时，对函数求导，由导数的几何意义，可得切线的斜率，由点斜式可得切线方程；（Ⅱ）对函数求导，当时，，得，由，得．显然，，

当时，，函数单调递增;当时，，函数单调递减，可得其单调区间；（Ⅲ）要比较ln（－a）与－2b的大小可用作差法，由（Ⅱ）知，是的唯一的极大值点，由f（x）≤f（2），知函数在处取得最大值，可得，即，

构造函数，求导可得．令，得，

当时，单调递增；当时，单调递减，是的最大值，即≤，进而得，即证．

试题解析：（Ⅰ）时，，， 1分

∴，， 2分

故点处的切线方程是． 3分

（Ⅱ）由，得． 4分

当时，，得，由，

得． 显然，，

当时，，函数单调递增;当时，，函数单调递减，

∴的单调递增区间是，单调递减区间是． 8分

（Ⅲ）由题意知函数在处取得最大值．由（Ⅱ）知，是的唯一的极大值点，

故，整理得. 9分

于是

令，则．令，得，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减． 10分

因此对任意，≤，又，

故，即，即，

∴． 12分