Question

已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，，，过与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于两点．

（1）求椭圆的方程；

（2）若的中点为，在线段上是否存在点，使得？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）; （2）.

【解析】

（1）利用离心率以及椭圆的定义，结合余弦定理，求解椭圆C的方程．

（2）存在这样的点M符合题意．设P（x1，y1），Q（x2，y2），N（x0，y0），设直线PQ的方程为y=k（x﹣1），邻里中心与椭圆方程，利用韦达定理求出，通过点N在直线PQ上，求出N的坐标，利用MN⊥PQ，转化求解m的范围．

（1）由得，，，

由余弦定理得，，

解得，，，

所以椭圆的方程为．

（2）存在这样的点符合题意.

设，，，

由，设直线的方程为，

由得，

由韦达定理得，故，

又点在直线上，，所以.

因为，所以，

整理得，

所以存在实数，且的取值范围为.