Question

已知点A（1，0），圆E：（x+1）²+y²=16，点B是圆E上任意一点，线段AB的垂直平分线l与半径EB相交于H.

（1）当点B在圆上运动时，求动点H的轨迹г的方程：

（2）过点A且与坐标轴不垂直的直线交轨迹г于、两点，线段OA（O为坐标原点）上是否存在点使得若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

（1）运用垂直平分线定理可得，，可得，由椭圆的定义即可得到所求轨迹方程；（2）设直线的方程为，联立直线和椭圆的方程得到韦达定理，利用韦达定理求出PQ中点G的坐标，得到，得到，求出m的范围得解.

（1）根据题意，，

所以,

则,

故动点的轨迹г是以，为焦点，长轴长为4的椭圆．

设其方程为，

可知，，，

所以点的轨迹г的方程为；

（2）设直线的方程为，

设，，，联立，

得，

由韦达定理有①，其中△恒成立，

所以PQ的中点G的坐标为，

所以直线MG的斜率为

因为,

所以，

所以，

当k=0时，m=0;

当时，.

综合得.