Question

已知函数f(x)＝xln x＋(a－1)x＋2.

(1)当a＝2时，求f(x)在x＝1处的切线方程；

(2)若f(x)＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（1）2x－y＋1＝0；（2）a＞－ln 2.

【解析】

（1）将a＝2代入得f(x)＝xln x＋x＋2，求导并计算f′(1)＝2，f(1)＝3，用点斜式写出切线方程；（2）f(x)＞0恒成立等价于函数f(x)的最小值大于0，利用导数求函数的最小值，并建立方程即可求解。

(1)当a＝2时，f(x)＝xln x＋x＋2，

求导得，f′(x)＝ln x＋2，∴f′(1)＝2，f(1)＝3，

故f(x)在x＝1处的切线是2x－y＋1＝0.

(2)定义域为(0，＋∞)，导函数f′(x)＝ln x＋a，

令f ′(x)＝0，得x＝e－a，

分析可得f(x)在(0，e－a)为减函数，在(e－a，＋∞)为增函数，

所以fmin(x)＝f(e－a)＝e－a(－a)＋(a－1)e－a＋2＝－e－a＋2，

由题意可知f(x)＞0恒成立，需要－e－a＋2＞0，解得a＞－ln 2.