Question

已知函数f（x）=sin（ωx-）（其中ω＞0）的图象上相邻两个最高点的距离为π．

（Ⅰ）求函数f（x）的图象的对称轴；

（Ⅱ）若函数y=f（x）-m在[0，π]内有两个零点x₁，x₂，求m的取值范围及cos（x₁+x₂）的值．

Answer

（I）；（II），.

【解析】

（Ⅰ）由题意，图象上相邻两个最高点的距离为，即周期，可得，即可求解对称轴；

（Ⅱ）函数在，内有两个零点，，转化为函数与函数有两个交点，即可求解的范围；在，内有两个零点，是关于对称轴是对称的，即可求解的值．

【解析】
（Ⅰ）∵已知函数f（x）=sin（ωx-）（其中ω＞0）的图象上相邻两个最高点的距离为=π，

∴ω=2，

故函数f（x）=sin（2x-）．

令2x-=kπ+，k∈Z

得x=+，k∈Z，

故函数f（x）的图象的对称轴方程为x=+，k∈Z．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知函数f（x）=sin（2x-）．

∵x∈[0，π]，

∴2x-∈[，]

∴-≤sin（2x-）≤，

要使函数y=f（x）-m在[0，π]内有两个零点．

∴-＜m＜，且m

即m的取值范围是（-，）∪（-，）．

函数y=f（x）-m在[0，π]内有两个零点x1，x2，

可得x1，x2是关于对称轴是对称的；

对称轴方=2x-，k∈Z．

得x=，

在[0，π]内的对称轴x=或

当m∈（-，1）时，可得x1+x2=，

∴cos（x1+x2）=cos

当m∈（-1，-）时，可得x1+x2=，

∴cos（x1+x2）=cos=．