Question

如图，四边形为矩形，平面平面，，，，，点在线段上.

（1）求证：平面；

（2）若二面角的余弦值为，求的长度.

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】

（1）先证明，又平面平面，即得平面；（2）以为原点，以，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题得，解方程即得解.

（1）证明：∵，∴，

又平面平面，平面平面，平面，

∴平面.

（2）以为原点，以，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，

∴，，

由题知，平面，

∴为平面的一个法向量，

设，则，∴，

设平面的一个法向量为，则，

∴，令，可得，

∴，得或（舍去），

∴.