Question

如图，在四棱锥中，平面平面，，是等边三角形，已知，.

（1）设是上的一点，证明：平面平面；

（2）求四棱锥的体积.

Answer

(1)证明见解析；(2).

【解析】

（1）由题意结合几何关系可证得平面，结合面面垂直的判断定理可得平面平面.

（2）过作交于，易知为四棱锥的高，计算可得，四边形的面积为，则棱锥的体积.

（1）在中，由于，,，

∴.故.

又平面平面，平面平面，

平面，∴平面.

又平面，故平面平面.

（2）如图，过作交于，由于平面平面，

∴平面.∴为四棱锥的高.

又是边长为2的等边三角形，

∴.

在底面四边形中，，，

所以四边形是梯形.

在中，斜边边上的高为，

∴四边形的面积为.

故.