Question

已知函数．

（1）当时，证明的图象与轴相切；

（2）当时，证明存在两个零点．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）先求导，再设切点，求出切点坐标，即可证明，

（2）分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最值，即可证明.

证明：（1）当a＝1时，f（x）＝（x﹣2）lnx+x﹣1．

∴f′（x）＝lnx++1，

若f（x）与x轴相切，切点为（x0，0），

∴f（x0）＝（x0﹣2）lnx0+x0﹣1＝0

f′（x0）＝lnx0++1＝0，

解得x0＝1或x0＝4（舍去）

∴x0＝1，

∴切点为（1，0），

故f（x）的图象与x轴相切

（2）∵f（x）＝（x﹣2）lnx+ax﹣1＝0，

∴a＝﹣＝﹣lnx+，

设g（x）＝﹣lnx+，

∴g′（x）＝﹣﹣+＝，

令h（x）＝1﹣2x﹣2lnx

易知h（x）在（0，+∞）为减函数，

∵h（1）＝1﹣1﹣2ln1＝0，

∴当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，

当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减，

∴g（x）max＝g（1）＝1，

当x→0时，g（x）→﹣∞，当x→+∞时，g（x）→﹣∞，

∴当a＜1时，y＝g（x）与y＝a有两个交点，

即当a＜1时，证明f（x）存在两个零点