Question

如图所示，在四棱锥中，底面是菱形，，与交于点，底面，为的中点，.

（1）求证： 平面；

（2）求异面直线与所成角的余弦值；

（3）求与平面所成角的正弦值.

Answer

（1）证明见详解；（2）；（3）

【解析】

（1）连接OF，可得OF为的中位线，OF∥DE，可得证明；

（2）连接C点与AD中点为x轴，CB为y轴，CE为z轴建立空间直角坐标系，可得，的值，可得异面直线与所成角的余弦值；

（3）可得平面EBD的一个法向量为，可得与平面所成角的正弦值.

【解析】
（1）

如图，连接OF，因为底面是菱形，与交于点，

可得O点为BD的中点，又为的中点，所以OF为的中位线，

可得OF∥DE,又,DE不在平面ACF内，

可得 平面；

（2）如图连接C点与AD中点位x轴，CB为y轴，CE为z轴建立空间直角坐标系，

设菱形的边长为2，可得CE=2，

可得E(0，0，2)，O(,,0),A(,1,0),F(0,1,1),

可得：,,设异面直线与所成角为，

可得，

（3）可得D (,-1,0),B(0,2,0),E(0,0,2),

可得,,设平面EBD的一个法向量为，

可得，,可得的值可为，由

可得与平面所成角的正弦值为

=.