已知函数（I）若讨论的单调性；（Ⅱ）若，且对于函数的图象上两点，存在，使得函...

已知函数

（I）若讨论的单调性；

（Ⅱ）若，且对于函数的图象上两点，存在，使得函数的图象在处的切线.求证：.

(1)见解析(2)见证明【解析】 (1)对函数求导，分别讨论，以及，即可得出结果； (2)根据题意，由导数几何意义得到，将证明转化为证明即可，再令，设，用导数方法判断出的单调性，进而可得出结论成立. （1）【解析】易得，函数的定义域为，，令，得或. ①当时，时，，函数单调递减；时，，函数单调递增. 此时，的减区间为，增区间为. ②当时，时，，函数单调递减；或时，，函数单调递增. 此时，的减区间为，增区间为，. ③当时，时，，函数单调递增；此时，的减区间为. 综上，当时，的减区间为，增区间为：当时，的减区间为，增区间为.；当时，增区间为. （2）证明：由题意及导数的几何意义，得由（1）中得. 易知，导函数在上为增函数，所以，要证，只要证，即，即证. 因为，不妨令，则 . 所以，所以在上为增函数，所以，即，所以，即，即. 故有（得证）.

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考点分析：

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