Question

已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）讨论函数的零点个数.

Answer

（1）当时，在上单调递增，当时，在）上单调递减，在上单调递增；（2）当或时，有1个零点；当时，有2个零点；当时，有0个零点.

【解析】

（1）对函数求导，分类讨论和时的单调性，即可得到结果.

（2）不是的零点，即可分类参量，求解的交点个数问题，对新函数求导后作图，进而计算出零点个数问题.

（1）的定义域为，，

当时，所以在上单调递增，

当时，由得，

所以，，单调递减，

，，单调递增 ，

综上，当时，在上单调递增，

当时，在）上单调递减，在上单调递增；

（2）显然不是的零点，

当时，由得，

令，则.

所以在上单调递减，上单调递减，上单调递增，

且当时，，当x从左边趋近于0时，，当x从右边趋近于0时，，画出的图象如图，数形结合知，

当或即或时，有1个零点，

当即时，有2个零点，

当即时，有0个零点.