Question

在三棱锥中，底面与侧面均为正三角形，，，为的中点．

（Ⅰ）证明：平面平面；

（Ⅱ）为线段上一点，且，求三棱锥的体积．

Answer

（Ⅰ）见证明（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）要证平面平面，即证平面，转证

（Ⅱ）利用等体积法即可得到三棱锥的体积．

解法一：（Ⅰ）因为 是边长为的正三角形，为的中点，所以，

同理，，又，

因为，

所以

又，所以平面，

又平面，

所以平面平面．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得平面，

所以， 为直角三角形，

所以，且，

解得．

在 中，由，

．

解得，即

即,，

解法二：

（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得平面，

所以，

即，，

所以，

得，

则，

所以，又，

所以平面，

在中，，

所以．