Question

若函数．

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）若在上存在两个零点，求的取值范围．

Answer

（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）求出导函数，函数的定义域，通过①当a≤0时，②当a＞0时，分别求解函数的单调区间即可；

（Ⅱ）通过a≤0时，当a＞0时，利用函数的单调性结合函数的零点，列出不等式即可求解a的取值范围．

【解析】
（Ⅰ）函数的定义域为，

，

当时，，在单调递减．

当时，令，，其中舍去

则

当时，，则在上单调递减，

当时，，则在上单调递增．

所以在上单调递减，在上单调递增．

综上所述，当时，在单调递减，

当时，所以在上单调递减，在上单调递增．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，当时，在单调递减，不合题意，舍去．

当时，

由于在上有两个零点，

又因为，所以是的一个零点．

因此问题等价于：在存在一个零点，

又由（Ⅰ）得，当时，存在一个极值点，

故，即．

因此问题等价于：

．

因为

，

令，

在恒成立，所以在单调递减，

，

所以成立，

所以存在，．

取，

，

，

所以在存在一个零点．

综上所述，．

另【解析】
当趋近于时，趋近于正无穷大，则．