Question

已知函数.

（1）若，求的值；

（2）求函数的定义域；

（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）由可得出关于的等式，即可得出实数的值；

（2）根据对数真数大于零、分母不为零可得出关于的不等式组，解不等式组即可得出函数的定义域；

（3）令，由可得出，参变量分离得，求出二次函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围.

（1），，解得；

（2）对于函数，有，解得且.

因此，函数的定义域为；

（3），令，由，得，参变量分离得，

二次函数的图象开口向下，对称轴为直线.

所以，函数在区间上单调递减，

当时，该函数取得最大值，即，.

因此，实数的取值范围为.