Question

如图，在以为顶点，母线长为的圆锥中，底面圆的直径长为2，是圆所在平面内一点，且是圆的切线，连接交圆于点，连接，.

（1）求证：平面平面；

（2）若是的中点，连接，，当二面角的大小为时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

Answer

（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）由是圆的直径，与圆切于点，可得,

由底面圆，可得，利用线面垂直的判定定理可知，平面，即可推出.又在中，，可推出，利用线面垂直的判定定理可证平面，从而利用面面垂直的判定定理可证出平面平面.

（2）由，，可知为二面角的平面角，

即，建立空间直角坐标系，易知，

求得点的坐标如下；，，

，，，

由（1）知为平面的一个法向量，

设平面的法向量为，

，，

通过，，∴，，

可求出平面的一个法向量为，

∴.

∴ 平面与平面所成锐二面角的余弦值为.

【解析】
（1）是圆的直径，与圆切于点，

底面圆，∴

，平面，∴.

又∵在中，，∴

∵，∴平面，从而平面平面.

（2）∵ ，，∴为二面角的平面角，

∴ ，

如图建立空间直角坐标系，易知，

则，，

，，，

由（1）知为平面的一个法向量，

设平面的法向量为，

，，

∵ ，，∴，，

∴ ，即

故平面的一个法向量为，

∴.

∴ 平面与平面所成锐二面角的余弦值为.