Question

已知函数.

（1）若函数的最小值是且，，求的值；

（2）若，且在区间上恒成立，试求的取值范围.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

（1）由题意得出，可解出、的值，可得出函数和函数的解析式，从而计算出的值；

（2）由已知条件得出，由题意得出在区间上恒成立，利用参变量分离法得出且在上恒成立，然后利用函数单调性和基本不等式分别求出和在上的最小值和最大值，可得出实数的取值范围.

（1）由已知，且，解得，，

，则，

则；

（2）由，，得，从而在区间上恒成立等价于在区间上恒成立，

即且在上恒成立.

函数在区间上单调递减，则.

由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，则的最大值为，，

因此，实数的取值范围是.