Question

某市为了改善居民的休闲娱乐活动场所，现有一块矩形草坪如下图所示，已知：米，米，拟在这块草坪内铺设三条小路、和，要求点是的中点，点在边上，点在边时上，且.

（1）设，试求的周长关于的函数解析式，并求出此函数的定义域；

（2）经核算，三条路每米铺设费用均为元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用.

Answer

（1），定义域为；

（2）当米时，铺路总费用最低，最低总费用为元．

【解析】

（1）利用勾股定理通过，得出，结合实际情况得出该函数的定义域；

（2）设，由题意知，要使得铺路总费用最低，即为求的周长最小，求出的取值范围，根据该函数的单调性可得出的最小值.

（1）由题意，在中，，，，，

中，，，，又，

，

所以，即.

当点在点时，这时角最小，求得此时；

当点在点时，这时角最大，求得此时.

故此函数的定义域为；

（2）由题意知，要求铺路总费用最低，只需要求的周长的最小值即可．

由（1）得，，

设，，

则，

由，得，，则，

从而，当，即当时，，

答：当米时，铺路总费用最低，最低总费用为元．