Question

已知三棱柱中，，侧面底面，是的中点，，.

（Ⅰ）求证：为直角三角形；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

Answer

（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）取中点，连接，；易知为等边三角形，从而得到，结合，可根据线面垂直判定定理得到平面，由线面垂直性质知，由平行关系可知，从而证得结论；（Ⅱ）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，根据空间向量法可求得平面和平面的法向量的夹角的余弦值，根据所求二面角为钝二面角可得到最终结果.

（Ⅰ）取中点，连接，

在中，， 是等边三角形

又为中点

又，，平面 平面

平面

又 为直角三角形

（Ⅱ）以为坐标原点，建立如下图所示空间直角坐标系：

令

则，，，，

，，，

设平面的法向量为

，令，则，

又平面的一个法向量为

二面角为钝二面角

二面角的余弦值为：