Question

已知是单调递减等比数列的前项和，，且、、成等差数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足，数列的前项和为，求证：.

Answer

（1）；（2）见解析

【解析】

（1）由、、成等差数列，可建立等式关系，整理可得，结合的单调性，可求得公比，进而可求得的通项公式；

（2）由的通项公式，可得，进而可得，利用裂项相消求和法可求得，进而可证明结论.

（1）设数列的公比为，

由、、成等差数列，可得，

则，即，所以.

因为是单调递减数列，所以，

又，则，故.

（2）证明：由（1）知，则，

则，

故，

因为，所以，

又，故.

所以.