Question

某厂家拟在新年举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为万元时，销售量万件满足（其中，为正常数）.现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品万件还需投入成本万元（不含促销费用），产品的销售价格定为万元/万件.

（1）将该产品的利润万元表示为促销费用万元的函数；

（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大.

Answer

（1）；（2）见解析

【解析】

（1）由利润=销售额-投入成本-促销费用，列出式子即可；

（2）由（1）可得，利用基本不等式可得时，取得最大值，再结合，分和两种情况讨论，可求得答案.

（1）由题意知，该产品售价为万元，，

将代入得，，

整理得.

（2）由，

因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，

所以时，.

若，则或时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；

若，则时，，

故在上单调递增，

所以在时，取得最大值.

即促销费用投入万元时，厂家的利润最大.

综上所述，当或时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；

当时，促销费用投入万元时，厂家的利润最大.