Question

已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）当时，证明：．

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】

（1）求出导函数，通过当时，时，判断导函数的符号，图象函数的单调性；（2）要证．只需证明，证明．设．利用导函数转化证明，再证：，设，则．利用函数的单调性转化证明即可．

【解析】
（1）由得.

当即时，，所以在上单调递增．

当即时，由得；由得，

所以在上单调递减，在上单调递增．

（2）要证成立，

只需证成立，即证.

现证：.

设．则，

所以在上单调递减，在上单调递增．

所以.

因为，所以，则，

即，当且仅当，时取等号．

再证：.

设，则.

所以在上单调递增，则，即.

因为，所以．当且仅当时取等号，

又与两个不等式的等号不能同时取到，

即，

所以．