Question

在的三个内角的对边分别为，已知向量，且.

（Ⅰ）求角的值；

（Ⅱ）若，求边的最小值.

（Ⅲ）已知，求的值.

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）.（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）根据平面向量平行的坐标关系，代入后由正弦定理化简，结合辅助角公式即可求得角的值.

（Ⅱ）根据平面向量数量积定义，结合余弦定理及基本不等式，即可求得边的最小值.

（Ⅲ）根据正弦定理，先求得，由同角三角函数关系式求得.结合二倍角公式即可求得，由同角三角函数关系式求得.利用正弦差角公式展开，再代入即可求得的值.

（Ⅰ）因为，

所以，

所以由正弦定理和诱导公式可得

因为，所以，

所以，

所以，又，

所以.

（Ⅱ）因为，所以，

所以，所以，

由余弦定理可得12，

当且仅当时等号成立

所以，即的最小值为.

（Ⅲ）由正弦定理可得

，

为锐角