Question

如图，在四棱锥中，四边形为梯形，，且，是边长为2的正三角形，顶点在上的射影为点，且，，.

（1）证明：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer

（1）见解析（2）

【解析】

试题（1） 取的中点为，连接利用直角三角形的性质，可分别求出的值，由勾股定理得．可得面，可证平面平面；（2）以所在直线为轴，所在直线为轴，过点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出两个半平面的法向量，利用法向量的夹角与二面角的夹角的关系，可求二面角的余弦值．

试题解析：（Ⅰ）证明：由顶点在上投影为点，可知，．

取的中点为，连结，．

在中，，，所以．

在中，，，所以．

所以，，即．

∵

∴ 面．

又面，所以面面．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，且

所以 面，且面．以所在直线为轴，所在直线为轴，过点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

，，，

设平面，的法向量分别为，则

，则，

，则

，

，

所以二面角的余弦值为．