Question

函数，其中，，为实常数

（1）若时，讨论函数的单调性；

（2）若时，不等式在上恒成立，求实数的取值范围；

（3）若，当时，证明：.

Answer

(1)见解析；(2) (3)见证明

【解析】

（1）代入t的值，求得导函数，对a进行分类讨论，根据导数的正负确定单调区间即可．

（2）代入t的值，根据不等式分离参数，通过构造函数，再求，根据其单调性求得最大值即可得a的取值范围．

（3）要证明不等式成立，根据分析法得到只需证明成立即可．通过构造函数，利用导数研究其单调性与最值，根据最小值即可得证．

解（1）定义域为， ，

当时，， ，

在定义域上单调递增；

当时，时，，单调递增；

当时，．单调递减；

综上可知：当时，的增区间为，无减区间；

当时，增区间为，减区间为；

（2） 对任意恒成立.

即等价于，，

令.

，，

在上单调递增，

，

.故的取值范围为.

（3）要证明，即证明，只要证，

即证，只要证明即可，

令，在上是单调递增，，

在有唯一实根设为，

且，

当时，单调递减

当时，，单调递增

从而当时，取得最小值，由得：

，即，

，

故当时，证得：.