已知曲线
的参数方程为
（
为参数）；直线
（
，
）与曲线相交于
两点，以极点
为原点，极轴为
轴的负半轴建立平面直角坐标系.
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）记线段
的中点为
，若
恒成立，求实数
的取值范围.
函数
，其中
，
，为实常数
（1）若
时，讨论函数
的单调性；
（2）若时，不等式
在
上恒成立，求实数的取值范围；
（3）若
，当
时，证明：
.
已知曲线
，曲线
，且
与
的焦点之间的距离为
，且与在第一象限的交点为
．
(1)求曲线的方程和点的坐标；
(2)若过点且斜率为
的直线
与的另一个交点为
，过点与垂直的直线与的另一个交点为
．设
，试求
取值范围．
如图，在四棱锥
中，四边形
为梯形，
，且
，
是边长为2的正三角形，顶点
在
上的射影为点
，且
，
，
.
（1）证明：平面
平面
；
（2）求二面角
的余弦值.
某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，采集相应数据，对该公司2017年连续六个月的利润进行了统计，并绘制了相应的折线图，如图所示：
（1）折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润
（单位：百万元）与月份代码
之间的关系，求关于的线性回归方程，并预测该公司2018年1月份的利润；
（2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有采购成本分别为10万元
包和12万元包的
、
两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用4个月，不同类型的新型材料损坏的时间各不相同，已知生产新型材料的企业乙对、两种型号各100件新型材料进行过科学模拟测试，得到两种新型材料使用寿命频数统计如表：
使用寿命 材料类型 | 1个月 | 2个月 | 3个月 | 4个月 | 总计 |
| 20 | 35 | 35 | 10 | 100 |
| 10 | 30 | 40 | 20 | 100 |
经甲公司测算，平均每包新型材料每月可以带来5万元收入，不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每包新型材料的使用寿命都是整数月，且以频率作为每包新型材料使用寿命的概率，如果你是甲公司的负责人，以每包新型材料产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款新型材料？
参考数据：
，
．
参考公式：回归直线方程为
，其中
．
某学校的平面示意图为如下图五边形区域
，其中三角形区域
为生活区，四边形区域
为教学区，
为学校的主要道路（不考虑宽度）. 
，
.
（1）求道路
的长度；
（2）求生活区
面积的最大值.
