Question

已知数列前项和为，且满足，.

（1）求数列的通项公式；

（2）令，为的前项和，求证：.

（3）在（2）的条件下，若数列的前n项和为，，求证

（4）请你说明第（3）问所用到的求和方法，哪些数列通项的模型适合此方法？请举例说明.（至少列举出三种）

Answer

（1）（2）证明见解析（3）证明见解析（4）裂项相消法,说明见解析（答案不唯一）

【解析】

（1）当时,与条件作差可得,讨论是否满足,进而求解即可；

（2）由（1）,,则,进行放缩可得,进而利用裂项相消法求解即可；

（3）由（2）,,进而利用裂项相消法求解即可；

（4）第（3）问使用的是裂项相消的求和方法,举例说明即可.

（1）因为,

当时,,

所以,即,

当时,,即,

又,则,满足上式,

所以数列是首项为2,公比为4的等比数列,

所以

（2）证明:由（1）,则,

所以,

当时,,

则

（3）证明:由（2）,则,

所以

（4）第（3）问使用的是裂项相消法求数列的和,

；；均适合该方法.