Question

已知圆C：，直线：，：

（1）若，，被圆C所截得的弦的长度之比为，求实数k的值

（2）已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆C上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程

Answer

（1）（2）

【解析】

（1）根据题意，由直线与圆的位置关系分析求出圆心C到直线的距离和被圆C所截得的弦长，再求出直线被圆C所截得的弦长与圆心C到直线的距离，列方程求出k的值；

（2）根据题意，设，由中点坐标公式可得A的坐标，将A的坐标代入圆C的方程，即可得答案.

（1）根据题意，圆C：，其圆心为，半径

点C到直线的距离

则直线被圆C截得的弦长

若直线、，被圆C所截得的弦的长度之比为，则直线被圆C截得的弦长

则点C到直线的距离

直线：，即，则；

解可得：；

（2）根据题意，设

线段AB的中点为M，且，则

又由端点A在圆C上运动，则有

变形可得：；

故线段AB的中点M的轨迹方程为.