Question

已知函数，若曲线上始终存在两点，使得，且的中点在轴上，则正实数的取值范围为（      ）

A. B. C. D.

Answer

C

【解析】

假设曲线上存在两点满足题设要求,则点只能在轴两侧，设,根琚题意,可得 ,且斜边的中点在轴上，得到的坐标，将是否存在两点满足题意等价转化成关于的方程是否有解的问题，再对分类讨论，运用导数求解，即可得到结果.

假设曲线上存在两点满足题意，则点只能在轴两侧，

是以为直角顶点的直角三角形，

，

不妨设，

斜边的中点在轴上，

且，

，

，①

曲线上始终存在两点使得,等价于方程①有解,

(1)当，即两点都在上 ,

，

代入方程①，得，

，

而此方程无实数解,不符合题意,

（2）当时，在上，在上，

，代入①得，因为为正数可化为

，设，

，

，递减，

，

时，，递减，

时，，递增，

，

即结合为正数，可得，

的范围是，故选C.