Question

已知四棱锥，底面为菱形，,为上的点，过的平面分别交，于点，，且平面．

（1）证明：；

（2）当为的中点，，与平面所成的角为，求与平面所成角的正弦值．

Answer

(1)见证明(2)

【解析】

（1）连结、且，连结，先证明平面，可得，再利用线面平行的性质定理证明，从而可得结论；（2）利用（1）可证明平面,利用与平面所成的角为求出线段间的等量关系，以，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，求出，再利用向量垂直数量积为零列方程求出平面的法向量，由空间向量夹角余弦公式可得结果.

（1）

连结、且，连结．

因为，为菱形，所以，，

因为，，所以，，

因为，且、平面，

所以，平面，

因为，平面，所以，，

因为，平面，

且平面平面，

所以，，

所以，．

（2）

由（1）知且，

因为，且为的中点，

所以，，所以，平面,

所以与平面所成的角为，所以，

所以，，，因为，，所以，.

以，，分别为，，轴，如图所示建立空间直角坐标系

记，所以，，，，，，，，

所以， ，，

记平面的法向量为，所以，即，

令，解得，，所以，，

记与平面所成角为，所以，.

所以，与平面所成角的正弦值为.