Question

已知在四棱锥中，底面是边长为的正方形，是正三角形，CD平面PAD，E,F,G,O分别是PC,PD,BC,AD 的中点．

（Ⅰ）求证：PO平面；

（Ⅱ）求平面EFG与平面所成锐二面角的大小；

（Ⅲ）线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为，若存在，求线段的长度；若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）证明见解析 （Ⅱ）（Ⅲ）不存在，见解析

【解析】

（Ⅰ）正三角形中，由平面得到，所以得到面；（Ⅱ）以点为原点建立空间直角坐标系，根据平面的法向量，和平面的法向量，从而得到平面与平面所成锐二面角的余弦值，再得到所求的角；（Ⅲ）线段上存在满足题意的点，直线与平面法向量的夹角为，设，，利用向量的夹角公式，得到关于的方程，证明方程无解，从而得到不存在满足要求的点.

（Ⅰ）证明:因为△是正三角形，

是的中点，

所以 .

又因为平面，平面，

所以.

，平面，

所以面.

（Ⅱ）如图，以点为原点分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.

则，

，，

设平面的法向量为

所以，即

令，则 ，

又平面的法向量，

设平面与平面所成锐二面角为，

所以.

所以平面与平面所成锐二面角为.

（Ⅲ）假设线段上存在点，

使得直线与平面所成角为，

即直线与平面法向量所成的角为，

设，，

，

所以

所以，

整理得，

，方程无解，

所以，不存在这样的点.