Question

如图，已知抛物线的焦点为，为坐标原点，直线与抛物线相交于，两点.

（1）当，时，求证：；

（2）若，点关于直线的对称点为，求的取值范围.

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）联立直线和抛物线方程，消去可得的二次方程，设，，，，运用韦达定理，结合向量垂直的条件：数量积为0，即可得证；

（2）联立直线方程和抛物线方程，消去，可得的二次方程，可得直线，设点关于直线的对称点，，运用中点坐标公式和两直线垂直的条件，可得的坐标，再由两点的距离公式可得，由，即可得到所求范围．

【解析】
（1）由方程组消去，得.

设，

，

， ，

因为，

所以.

（2）由方程组消去，得.

，，，.

由，解得或（舍）.

设点关于直线的对称点，

由方程组，得，即.

由点，得，

由，得.