Question

已知定义在上的连续函数对任意实数满足，，则下列命题正确的有________.

①若，则函数有两个零点；

②函数为偶函数；

③；

④若且,则.

Answer

①②④

【解析】

根据已知条件得到函数的对称轴，以及函数的单调性，结合题意，对选项进行逐一判断即可.

因为，故关于对称；

又，故当时，单调递增；时，单调递减.

对①：若，根据函数单调性，显然，则

根据零点存在定理和函数单调性，在上各有1个零点，故①正确；

对②：因为关于对称，故关于对称，故是偶函数，则②正确；

对③：，由函数在单调递减可知，

，故③错误；

对④：因为，故可得；因为，故可得

故，又函数关于对称，结合函数单调性，

故可得，故④正确.

综上所述：正确的有①②④.

故答案为：①②④.