Question

已知函数.

（1）当时，求证：；

（2）若不等式对恒成立，求的取值范围.

Answer

（1）证明见详解；（2）

【解析】

（1）对函数求导，讨论单调性，即可求得区间内的值域，从而证明不等式的成立；

（2）分离参数，构造函数，根据（1）中结论，对参数进行分类讨论即可.

（1），

故，

所以函数在上递增，

当时，取最小值，

当时，取最大值，

即证.

（2）不等式等价于

令，

则，

由（１）知，

①当时，，

所以函数在上递增，

所以满足条件，

②当时，，

不满足条件

③当时，对，

令，，

显然在上单调递增

又，

存在，使得时，，

在上单调递减，

，

时，

不满足条件，

综上得，的取值范围.