Question

如图，在四棱锥中，，底面为直角梯形，，，，为线段上一点.

（I）若，求证：平面；

（II）若，，异面直线与成角，二面角的余弦值为，求的长及直线与平面所成角的正弦值.

Answer

（I）证明见解析；（II），直线与平面所成角的正弦值为.

【解析】

（I）过点作，交于点，连接，通过证明四边形为平行四边形得出，然后利用线面平行的判定定理可得出结论；

（II）证明出平面，过点作交于点，并以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法结合二面角的余弦值为求出的值，再利用空间向量法可求出直线与平面所成角的正弦值.

（I）过点作，交于点，连接，

，，，，

，，所以，四边形为平行四边形，则，

平面，平面，平面；

（II）异面直线与成角，即，

，，平面，

，过点作交于点，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

设，则、、、，

，，，

设平面的法向量为，则，

取，则，，则，

同理可得平面的一个法向量为，

由于二面角的余弦值为，

则，解得，

所以，，易知平面的一个法向量为，

设直线与平面所成角为，则，

因此，直线与平面所成角的正弦值为.