Question

如图，直三棱柱中，分别是的中点，.

（1）证明：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer

(1)证明见解析 (2)

【解析】

（1）连接交于点，由三角形中位线定理得，由此能证明平面．

（2）以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系．分别求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值．

证明：证明：连接交于点，

则为的中点．又是的中点，

连接，则．

因为平面，平面，

所以平面．

（2）由，可得：，即

所以

又因为直棱柱，所以以点为坐标原点，分别以直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则，

设平面的法向量为，则且，可解得，令，得平面的一个法向量为，

同理可得平面的一个法向量为，

则

所以二面角的余弦值为.