Question

已知函数

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）谈论函数的零点个数

Answer

(1) 的单调递减区间是，单调递增区间是 (2)见解析

【解析】

（1）求出函数的导数，解关于导函数不等式，求出函数的单调区间；

（2）由（1）知当时，，分，，三种情况讨论，由函数的定义域为显然没有零点，当转化为函数的交点问题.

【解析】
（1）∵，

故，

∵

∴时，，故单调递减，

时，，故单调递增，

所以，时，的单调递减区间是，单调递增区间是

（2）由（1）知，

当时，在处取最小值，

当时，，在其定义域内无零点

当时，，在其定义域内恰有一个零点

当时，最小值，因为，且在单调递减，故函数在上有一个零点，

因为，，，又在上单调递增，故函数在上有一个零点，故在其定义域内有两个零点；

当时，在定义域内无零点；

当时，令，可得，分别画出与，易得它们的图象有唯一交点，即此时在其定义域内恰有一个零点

综上，时，在其定义域内无零点；或时，在其定义域内恰有一个零点；时，在其定义域内有两个零点；