Question

某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费对年销售量(单位：t)的影响.该公司对近5年的年宣传费和年销售量数据进行了研究，发现年宣传费x(万元)和年销售量y(单位：t)具有线性相关关系，并对数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值.

(1)根据表中数据建立年销售量y关于年宣传费x的回归方程；

(2)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为，根据(1)中的结果回答下列问题：

①当年宣传费为10万元时，年销售量及年利润的预报值是多少?

②估算该公司应该投入多少宣传费，才能使得年利润与年宣传费的比值最大.

附：回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为

参考数据：.

Answer

(1) ；（2）①销售量为，年利润2.25；②该公司应该投入5万元宣传费，才能使得年利润与年宣传费的比值最大.

【解析】

（1）由题所给数据及参考公式，计算出回归方程；

（2）将（1）所得回归方程代入函数式得到年利润与年宣传费之间的函数关系，利用函数知识分析。

（3）年利润与年宣传费的比值为，求出的解析式，利用基本不等式求最值。

（1）由题意，，

（2）①由（1）得

当时

即当年宣传费为10万元时，年销售量为，年利润的预报值为。

②令年利润与年宣传费的比值为 则

当且仅当即时取最大值，故该公司应该投入5万元宣传费，才能使得年利润与年宣传费的比值最大.