Question

已知二次函数

（1）若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围；

（2）是否存在常数，当时，的值域为区间，且区间的长度为（视区间的长度为），如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由.

Answer

（1）（2）存在，，

【解析】

（1）由二次函数的单调性易得，解关于的不等式可得.

（2）分、或三种情况进行讨论，对于每一种情况，由区间长度是求出的值，验证范围后即可得到答案.

（1）函数的对称轴是在区间上是减函数.

函数在区间上存在零点，则必有，

即

（2）在区间上是减函数，在区间上是增函数，

且对称轴是.

①当，即时，在区间上，最大，最小

，即，

解得

②当时，在区间上，最大，最小，

，解得；

③当时，在区间上，最大，最小， .

，即，解得，

综上可知，存在常数，满足条件.