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定义:如果函数在定义域内给定区间上存在,满足,则称函数是上的“平均值函数”,是它...

定义:如果函数在定义域内给定区间上存在,满足,则称函数上的“平均值函数”,是它的一个均值点.例如y=| x |上的“平均值函数”,0就是它的均值点.给出以下命题:

①函数上的“平均值函数”.

②若上的“平均值函数”,则它的均值点x0

③若函数上的“平均值函数”,则实数m的取值范围是

④若是区间[a.b] b>a.1)上的“平均值函数”,是它的一个均值点,则

其中的真命题有_________.(写出所有真命题的序号)

 

①③④ 【解析】 直接利用定义判断①的正误;利用反例判断②的正误;利用定义推出m的范围判断③的正误;利用分析法直接证明,结合导数可证明④的正误. 【解析】 ①由,可得 由,可得满足“平均值函数”,故①正确; ②举反例,令,,可得,又,故②错误; ③ 由函数是上的“平均值函数”,所以关于的方程: 在区间内有实数根, 由,可得,可得,或, 又,故必为均值点,即,可得,故③ 正确; ④由题意得:,要证明, 即证明:, 令,原式子等价于:, 令,可得, 故在区间是减函数,故,故④正确; 故答案为:①③④.
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