Question

如图，四棱锥中，，且.

（1）证明：平面平面；

（2）若是等边三角形，，且四棱锥的体积为，求的面积.

Answer

（1）见解析（2）

【解析】

（1）结合已知，利用线面垂直判定定理和面面垂直的判定定理进行证明即可；

（2）取的中点，由（1）结合面面垂直的性质定理、是等边三角形，可以得到平面，再利用棱锥的体积公式，可以求出四边形的边长，最后利用勾股定理和三角形面积公式进行求解即可.

证明：（1）因为，

所以，，

因为，

所以，

因为，

所以平面，

因为平面，

所以平面平面.

【解析】
（2）由（1）知，平面平面，

且平面平面，

取的中点，

因为是等边三角形，

所以，

所以平面，

因为，，，

所以四边形是矩形，

又因为四棱锥的体积为，

所以，解得，，

在中，，，，即，

同理，，

在等腰三角形中，.