Question

已知圆：，为坐标原点，动点、在圆外，过点、分别作圆的切线，切点分别为、.

（1）若点在点位置时，求此时切线的方程；

（2）若点、满足，，问直线：上是否存在点，使得？如果存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.

Answer

（1）或.（2）不存在.见解析

【解析】

（1）根据过点的直线是否存在斜率进行分类讨论，结合点到直线距离公式，结合圆的切线性质进行求解即可；

（2）设，计算出、的表达式，结合，求出点轨迹方程，也就求出点、的轨迹方程，求出直线：上点，到距离最小时点的坐标，设该点的为，根据当、分别是圆的两条切线时，是所有中最大的角进行求解即可.

（1）把圆的方程化为标准方程为，

所以圆心为，半径.

当的斜率不存在时，

此时的方程为，到的距离，满足条件.

当的斜率存在时，设斜率为，

得的方程为，即.

则，解得.

所以的方程为，即.

综上，满足条件的切线的方程为或.

（2）点不存在，理由如下：

设，

则，，

因为，

所以.

整理，得.

即点、是以圆心为，半径的圆上两动点，

因为直线：上点是直线上所有点中到圆心距离最小的点，

当、分别是圆的两条切线时，

是所有中最大的角，

因为，

所以，

此时，，故不存在.