Question

已知直线与圆心为坐标原点的圆相切．

（1）求圆的方程;

（2）过点的直线与圆交于 两点,若弦长,求直线的斜率的值;

（3）过点作两条相异直线分别与圆相交于,且直线和直线的倾斜角互补,试着判断向量和是否共线?请说明理由．

Answer

（1）;（2）或;（3）共线,理由详见解析

【解析】

（1）根据点到直线的距离公式求出半径,结合圆心即可得出圆的方程．

（2）设直线的斜率为,得出点斜式方程,再求圆心到直线的距离,根据公式即可求出直线的斜率.

（3）由题意知,直线和直线的斜率存在,且互为相反数,

设,则,联立,得一元二次方程标代入方程可得, ,所以,得出结论.

解（1）∵直线与圆心为坐标原点的圆相切．

∴圆半径,

∴圆的方程为．

（2）设直线的斜率为．

则直线的方程为 ,即,

圆心到直线的距离为,

∵弦长,

∴,

解得或．

（3）向量和共线,理由如下：

由题意知,直线和直线的斜率存在,且互为相反数,

故可设,则,

由,得.

∵点的横坐标一定是该方程的解,故可得．

同理可得,

∴,

∴向量和共线．