Question

已知定义在上的函数为奇函数.

（1）求的值；

（2）用定义证明函数的单调性，并解不等式；

（3）设，当时，恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）（2）证明见解析，不等式的解集为（3）

【解析】

（1）根据奇函数定义，由，即可求解；

（2）根据函数单调性定义，设是上任意两个实数，且，比较的大小关系，即可证明函数单调性，再由，利用单调性解不等式.

（3）由（1）中解析式，写出解析式，运用换元法，设，则恒成立，可转化成，恒成立，根据恒成立思想，转化不等式，即可求解.

【解析】
（1）由为定义域为的奇函数，

，得；经检验适合题意

（2）由（1）知，.

设是上任意两个实数，且，则

由是定义在上的增函数，又，；

由指数函数性质可知，，，；

于是，即.

所以，函数是定义在上的减函数.

；

是定义在上的减函数，∴上式等价于，即；

∴不等式的解集为.

（3）.

设，则，恒成立，

即，恒成立，

整理得，，恒成立.

设，，

则，若满足题意需，即；

所以，实数的取值范围是.