Question

如图，在直三棱柱中，，，，点、分别为与的中点.

（1）证明：平面；

（2）求与平面所成角的正弦值.

Answer

（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）连接、，可知点为的中点，利用中位线的性质可得出，然后利用直线与平面平行的判定定理可证明出平面；

（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，计算出平面的一个法向量，利用空间向量法可计算出与平面所成角的正弦值.

（1）如图，连接、，

因为三棱柱为直三棱柱，所以为的中点.

又因为为的中点，所以.

又平面，平面，所以平面；

（2）以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则、、、，

所以，，，

设平面的法向量为，则，

令，得，

记与平面所成角为，则.